Mathxtreme = Barycentre dans un tétraèdre
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Barycentre dans un tétraèdre
yack
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Bonjour,
j'ai un exercice à faire sur le chapitre droites et plans et je bloque sur une question particulièrement :

On considère un tétraèdre ABCD. On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs de [AB],[CD],[BC],[AD],[AC],[BD]. On désigne G l'isobarycentre des points A,B,C et D.
1.Montrer que les droites (IJ), (KL), (MN) sont concourantes en G.
Donc là j'ai appliqué le théorème d'associativité pour le prouver

Dans la suite de l'exercice, on suppose que AB=CD; BC=AD, AC=BD (on dit que le tétraèdre ABCD est équifacial)

2.a) Quelle est la nature du quadrilatère IKJL? préciser également la nature IMJN et KNL.
je remarque que IJKL est un carré mais je n'arrive pas à le démontrer, Pouvez-vous me donner quelques pistes pour m'aider s'il vous plait

Merci d'avance


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Barycentre dans un tétraèdre
yack
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pas si simple de montrer que les diagonales sont de même longueur.

Mais c'est plus simple de montrer que (KJ) perpendiculaire à (KI)..

les triangles ABD et CDB isomètriques.
les hauteurs respectives issues de A et C s'intersectent en H.
le plan (AHC) est perpendiculaire à (BD) donc perpendiculaire à (KJ)
or (KI) parallèle à (AC) donc parllèle à (AHC)
donc (KI) perpendiculaire à (KJ).

...


Barycentre dans un tétraèdre
perpo
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(IJ) et (KL) concourantes en G => I, J, K et L appartiennent à un même plan

G est Bary de (I, 2) (J, 2) et G est bary de (K, 2) (L, 2)
=> G est milieu de [IJ] et de [KL]
=> IKJL est un parallélogramme

le tétraèdre ABCD est équifacial
=> les faces sont isométriques
=> IK = KJ
=> IKJL est un losange

reste à montrer que les diagonales sont de même longueur.


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