Mathxtreme = Minimum d'une fonction
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Minimum d'une fonction
nadine
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Bonjour à toutes et à tous!

Soit un cube ABCDEFGH, dans le repère (A,AB,AD,AE). Soient I le milieu de de[EH] et J le milieu de [CG].
Soient R le point d'intersection des droites (EG) et (FI) et S le point d'intersection des droites (CH) et (JD).

Soit M, un point variable du segment [GH]. On pose HM=x.
Pour quelle valeur de x, la distance RM+MS est-elle minimale?

Alors pour l'instant j'ai fait ceci:

M a pour coordonnées (x;1;1) R (1/3;1/3;1) et S (2/3;1;1/3)
On admet cette formule: AB=((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²)

Donc MR= ((1/3-x)²+(1/3-1)²+(1-1)²)
=((1/3-x)²+4/9)

MS=((2/3-x)²+4/9)

Donc MR+MS=((1/3-x)²+4/9)+((2/3-x)²+4/9)

On pose alors fMadf(x)=((1/3-x)²+4/9)+((2/3-x)²+4/9)

Voilà et maintenant je bute, j'ai conjecturé grâce a Géospace que f atteint son minimum de 17 /3 pour x=1/2 , mais comment démontrer ceci?

J'ai penser à le démontrer en calculant la dérivée de f et en étudiant son signe sur l'intervalle [0;1], mais cette fonction se dérive à l'aide des formules suivantes enseignées en terminale : u=u'/2u et un=nu'un-1.
Seulement je ne maitrise pas ces formules et n'arrive donc pas à dériver cette fonction.
Je me souviens également qu'on peut démontrer le minimum d'une fonction en y retranchant quelque chose, mais je ne sais plus quoi, dois-je faire f(x)-f(1/2)??
Et si c'est la bonne opération, quel résultat m'indiquera qu'il s'agit du minimum???
Je pense que si c'est cette opération que je dois faire, je n'y arriverai même pas vu la complexité du calcul!
Aidez moi à démontrer ce minimum s'il vous plaît! Et peu importe la méthode!
Ca fait des jours que j'essaye en vain je vous en supplie!



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Minimum d'une fonction
nadine
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Bonsoir . Tu peux peut-être dire que par symétrie , il faut que M soit au milieu de HG ...
Si tu traces RM + MS sur le " patron " du cube , les 3 points R, M, et S, seront ainsi alignés....


Minimum d'une fonction
ameni
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C'est intéressant mais cela pose un problème Il me p d'énonciation. Il me parait logique que quand trois points sont alignés, la distance qui les séparent les uns des autres est minime, mais est-ce une propriété mathématique? Je ne saurais pas comment rédiger cela...


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ameni
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Que signifie ce ..." .. un problème Il me p d'énonciation. ..." ?.

A défaut de MR + MS , tu pourrais peut-être chercher ( avec la dérivée plus facile ) le minimum de la somme MR² + MS² ?...
Qu(est-ce que cela te donne ?...

Quant aux 3 points sur une droite, personne ne contestera qu'ils sont à la distance minimale ...


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