Mathxtreme = theoreme du binome (_NEWTON_)
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theoreme du binome (_NEWTON_)
ameni
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Le théorème du binôme 
Développer les puissances d'une somme 
Une erreur fréquente en mathématique consiste à écrire (a + b)2 = a2 + b2 FAUX . 


La vraie relation est bien sûr la suivante: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + a b + b a + b2 = a2 + 2 a b + b2.



Pour énoncer la règle générale qui s'applique lorsque l'on veut développer la n ième puissance d'un binôme (a + b), c'est-à-dire calculer (a + b)n, la notion de factorielle k! d'un entier k est utile. Par définition, k! = 1×2×3×¼×k et 0! = 1.
 (1)

Par exemple, 5! = 1×2×3×4×5 = 120.


Ces factorielles interviennent dans la formule du binôme sous la forme de quotients connus sous le nom de coefficients du binôme; par définition, æ
è n
k ö
ø = n! 
k!(n - k)! .
 (2)

Par exemple, æ
è 5
3 ö
ø = 5! 
3! 2! = 120 
6×2 = 10.


Ces coefficients jouent un grand rôle en calcul des probabilités où on les interprète comme le nombre de façons possibles d'extraire k objets d'un ensemble qui en contient n. Une autre notation utilisée dans la formule du binôme est la notation S (lire: sigma) qui est commode pour représenter des sommes comportant beaucoup de termes. Si a0, a1, a2, ¼, an sont des nombres donnés, par définition, n
å
k=0 ak = a0 + a1 + a2 + ¼+ an.
 (3)


Par exemple, 5
å
k=0 k2 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55.



Avec ces notations, la formule du binôme s'écrit: (a + b)n = n
å
k=0 æ
è n
k ö
ø an-k bk.
 (4)


Exemples 
(a + b)3 = 3
å
k=0 æ
è 3
k ö
ø a3-k bk = æ
è 3
0 ö
ø a3 b0 + æ
è 3
1 ö
ø a2 b1 + æ
è 3
2 ö
ø a1 b2 + æ
è 3
3 ö
ø a0 b3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3.



(1 + x)4 = 4
å
k=0 æ
è 4
k ö
ø xk = æ
è 4
0 ö
ø x0 + æ
è 4
1 ö
ø x1 + æ
è 4
2 ö
ø x2 + æ
è 4
3 ö
ø x3 + æ
è 4
4 ö
ø x4 = 1 + 4 x + 6 x2 + 4 x3 + x4.

 


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theoreme du binome (_NEWTON_)
dido
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tro compliké !!!


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